Profesorul Dr. Vasile Crucianu a fost un cadru eminent al Facultății de Matematică a Universitații „AI. I. Cuza” din Iași, România. Născut în Căbești, județul Bacau, pe 1 noiembrie 1931, a absolvit colegiul „Gh. R. Codreanu” din Bîrlad și s-a înscris ca student în matematică la Universitatea „AI. I. Cuza” din Iași în 1951. Când a absolvit Facultatea de matematică, în 1955, a primit o Diplomă de Excelența. In același an a fost numit asistent și patru ani dupa aceea a devenit lector la Catedra de geometrie. În 1966 a obținut postul de conferențiar iar in 1971 a devenit Profesor in aceeași Catedra.

În îndelungata sa carieră universitară, Prof. Dr. V. Crucianu s-a implicat puternic în viata comunitații academice. A fost timp de mulți ani membru al Consiliului Facultații și șef al Catedrei de geometrie.

De-a lungul anilor, Prof. Dr. V. Crucianu a predat multe cursuri universitare la toate nivelele în aproape toate domeniile geometriei diferențiale. Indiferent de nivel, cursurile sale erau intotdeauna riguroase, clare, bine structurate si deschise spre noi direcții.

Prof. Dr. V. Crucianu a dat dovadă întotdeauna de talent și pasiune pentru cercetare. Rezultatele pe care le-a obținut, numeroase și importante, l-au consacrat ca un cercetator marcant în geometria diferențială. A obținut titlul de „Doctor in științe matematice” in 1964. Un rezumat al lucrarii sale de doctorat a fost publicat în Actele Congresului Internațional de Matematică, Moscova, 1966. Pentru rezultatele importante obținute privind geometria pe varietăți și fibrate, Prof. Dr. V. Crucianu a primit în 1982 premiul „Gh. Tițeica” al Academiei Române.

Profesorul Vasile Crucianu la catedră cu ocazia unei conferințe în 2007

În anii nouazeci, Prof. Dr. V. Crucianu a pornit o colaborare cu un grup de geometri din Spania. Din colaborare au rezultat mai multe publicații privind geometria paracomplexă. Prof. Dr. V. Crucianu a participat la multe conferințe științifice și a organizat câteva în România și în străinatate. Lucrarile sale, publicate în reviste de matematică cunoscute din România și din străinatate, au fost continuate și folosite in multe lucrări de doctorat. Prof. V. Crucianu a fost membru al mai multor societăți matematice și recenzor la mai multe publicații internaționale. A ținut conferințe în universități importante din Europa.

Biografie academică

Prezentarea care urmeaza a lucrarilor de cercetare ale Prof. Vasile Cruceanu a fost redactata de Prof. Mihai Anastasiei in 2006 si publicata in: Vasile Cruceanu, Selected Papers, Editura PIM, 2006, 398 p. (menționăm că prezentarea inițială era în engleză, traducerea în limba română a unor termeni matematici poate să nu fie cea mai bună).

În articolul [2] Vasile Cruceanu introduce noțiunea de direcție de înfășurare pe o varietate (distribuție) neolonomă V_n^m într-o varietate V_n cu conexiune metrică. Folosind-o, studiază liniile de curbură pe V_m^n. Având în vedere în special direcțiile concurente (în sensul lui Myller) sau paralele (în sensul lui Levi-Civita), studiază rețelele Myller și rețelele Czebyshev pe varietatea neolonomă V_m^2.

Articolul [4] este consacrat studiului suprafețelor într-o nouă geometrie, aceea a unui spațiu tridimensional având ca grup fundamental un subgrup al grupului proiectiv ale cărui elemente păstrează un plan precum și o dreaptă situată în acest plan. Un astfel de spațiu se numește parabolic axial-afin. În patru dimensiuni, aceste spații joacă un rol important în construirea unui model geometric pentru mecanica newtoniană.

În articolele [6], [12] și [15] se studiază geometria varietăților cu o conexiune centro-afină. Aceste varietăți au fost prezentate de profesorul Vasile Cruceanu în teza sa de doctorat. În primul rând, este dezvoltată teoria generală a varietăților centro-afine. Apoi sunt analizate cu atenție cazurile în care aceste soiuri au o structură metrică, simplectică sau complexă. De asemenea, este dezvoltată o teorie a hipersuprafețelor în varietăți cu conexiuni centro-afine normale. Multe rezultate datorate lui Gh. Tzitzeica, Al Myller, O. Mayer, V. Vagner și altora în geometria clasică centro-afină sunt extinse la acest nou cadru.

În articolul [7] se studiază varietățile neolonome V_n^(n-1) în geometria clasică centro-afină. Se introduc, printre altele, varietățile neolonome Tzitzeica și polaritatea Pantazi.

În articolul următor [9] este prezentată o teorie a subvarietăților în varietăți cu conexiuni proiective metrice. Se descoperă o analogie interesantă cu teoria subvarietăților din spațiile riemanniene cu curbură constantă.

Articolele [11], [13] au fost scrise în colaborare cu Radu Miron. Aici se studiază, pe o varietate diferențiabilă, perechile de conexiuni care sunt conjugate în raport cu o structură metrică, simplectică sau complexă. Acest studiu a fost extins de profesorul Vasile Cruceanu la varietățile Banach în [21]. Rezultatele sunt obținute într-o manieră unitară și elegantă folosind faptul că setul de conexiuni afine are o structură de modul afin și că operatorii implicați sunt simetrii sau proiecții afine.

Articolele [14], [19], [24] sunt dedicate unui studiu integrat al structurilor și conexiunilor proiective, afine și centro-afine. Apare o relație de subordonare între aceste structuri și conexiuni, precum și un principiu de dualitate.

O nouă definiție a unei conexiuni pe un spațiu fibrat folosind o structură de quasi-produs este propusă în [16].

Articolele [25], [31], [39], [41], [48] conțin câteva dintre contribuțiile importante ale profesorului Vasile Cruceanu la geometria fibratelor tangente și cotangente. Sunt definite într-un mod nou și foarte natural diverse elevatii ale obiectelor geometrice în functie de spatiul total. Sunt descoperite și numeroase structuri pe spațiul total, induse de structuri date pe bază, și sunt descrise proprietățile acestora.

În scurtul articol [26], viziunea lui Klein asupra geometriilor cu grupuri fundamentale este extinsă folosind teoria categoriilor și functorilor.

În [29] se propune o extindere foarte largă a noțiunii de spațiu afin prin introducerea noțiunii de G—spațiu afin pentru orice grup G. Multe noțiuni și proprietăți ale geometriei afine clasice sunt reformulate în acest cadru general.

În articolele [29], [30], [32] este dezvoltată geometria fibratului tensor de tip (1, 1). Se arată că acest pachet are o mulțime de proprietăți interesante, în special datorită structurii sale de algebră Lie.

În articolul următor [33] se presupune că un fibrat vectorial cu o conexiune liniară este o sumă Whitney a două sub-fibrate și se stabilesc ecuațiile de bază (de tip Gauss și Weingarten) pentru perechea acestor sub-fibrate. Se stabilesc si conditiile de integrabilitate ale acestor ecuații.

În articolele [36], [38] se studiază anumite clase de curbe în varietățile lui Hilbert și Koehler, care generalizează elicele spațiului euclidian. Aceste curbe sunt caracterizate folosind seria de direcții care formează tors, concurente sau paralele, care le sunt asociate rigid.

Geometria complexă centro-afină a hipersuprafețelor este discutată în [40]. Se stabilesc ecuațiile fundamentale, condițiile de integrabilitate și conexiunile liniare asociate. Este dată o teoremă fundamentală pentru aceste hipersuprafețe.

În articolul [42] sunt stabilite unele proprietăți ale derivațiilor și conexiunilor liniare care sunt compatibile cu paranteza Lie într-un fibrat de algebră Lie.

Articolele [44], [46] sunt dedicate geometriei fibratelor vectoriale. În primul, [44], se arată că mulțimea câmpurilor vectoriale de pe spațiul total, care sunt invariante fața de grupul de homoteții cu un parametru, devine o algebră Lie izomorfă cu algebra Lie a derivațiilor din algebra tensorală a spațiului total. În al doilea, [46], se modifică, se clarifică și se extind definițiile diferitelor elevații pentru fibratele vectoriale conform unui punct de vedere nou și natural. Sunt oferite diferite caracterizări geometrice ale elevațiilor.

Articolele [43], [47], [48] au fost elaborate în colaborare cu geometrii spanioli P. Gadea, J. Masqué, E. Reyes, F. Etayo și P. Fortuny, în cadrul unui acord între universitatea „Al.I. Cuza” din Iași, România, și Consejo Superior de Investigaciones Cientificas din Spania. Aici sunt studiate structurile paracomplexe, parahermitiene, parakahleriene precum și cele de tip electromagnetic pe varietăți și fibrate vectoriale. În plus, este oferită o prezentare amplă și aprofundată a cercetărilor în acest domeniu și a aplicațiilor acestor structuri în teoria câmpului, la spații simetrice și la spații omogene.

Articolul [51], scris în colaborare cu M. Popescu și P. Popescu, conține un studiu exhaustiv al obiectelor geometrice (câmpuri tensoriale, derivații și conexiuni liniare) pe spațiul total E al unei varietăți fibrate \csi, care sunt proiectabile și N-proiectabile, unde N este o normalizare a folierii verticale.

În articolele [52], [54], [55] se studiază unele structuri geometrice pe varietăți, numite de autor aproape hiperprodus, aproape complex biprodus și aproape bicomplex produs. Se demonstrează echivalența acestor structuri cu alte structuri importante și se determină metricile și conexiunile liniare care sunt compatibile cu acestea. Compatibilitatea lor este caracterizată și sunt oferite exemple de varietăți cu astfel de structuri.