Le Professor Dr. Vasile Crucianu a été un membre éminent de la Faculté de mathématiques de l’Université « AI. I. Cuza » University de lasi, Roumanie. Né à Cäbesti, dans le département de Bacäu, en Roumanie, le 1er novembre 1931, il a terminé ses études secondaires au college « Gh. R. Codreanu » de Bîrlad et en 1951 s’est inscrit pour suivre des études de mathématiques à l’Université « Al.I.Cuza » de lasi. En 1955, à la fin de ses études à la Faculté de mathématiques, il a reçu le Diplôme d’Excellence. La même année il a été nommé assistant et, quatre ans plus tard, est devenu lecteur à la Chaire de géométrie. En 1966 il a obtenu un poste de maître de conférences et, en 1971, il est devenu Professeur dans la même Chaire.

Tout au long de sa carrière universitaire, Prof. Dr. V. Crucianu s’est beaucoup impliqué dans la vie de la communauté académique. Ainsi, il a été pendant de longues années membre du Conseil de la faculté et titulaire de la Chaire de géométrie.

Au fil des années, Prof. Dr. V. Crucianu a enseigné de nombreux cours à tous les niveaux et dans la plupart des domaines de la géométrie différentielle. Quel que soit le niveau, ses cours étaient connus pour être rigoureux, clairs, bien structurés et ouvraient vers des directions nouvelles.

Prof. Dr. V. Crucianu a toujours montré du talent et de la passion pour la recherche. Les résultats qu’il a obtenus ont été si nombreux et importants qu’ils l’ont consacré comme un chercheur reconnu en géométrie différentielle. Il a obtenu le titre de « Docteur en Sciences Mathématiques » en 1964. Un résumé de sa thèse de doctorat a été publié dans les Proceedings of the ICM, Moscou, 1966. Pour les résultats importants obtenus concernant les objets géométriques sur variétés et espaces fibrés, Prof. Dr. V. Crucianu a reçu le prix « Gh. Tzitzeica » de l’Académie de Roumanie en 1982.

Professeur Vasile Crucianu à l’occasion d’un colloque en 2007

Dans les années ’90, Prof. Dr. V. Crucianu a mis en place une collaboration avec un groupe de géomètres d’Espagne, dont les résultats ont été publiés dans plusieurs articles communs sur la géométrie paracomplexe. Prof. Dr. V. Crucianu a participé à de nombreux colloques et conférences de mathématiques, et en a organisé plusieurs en Roumanie et à l’étranger. Ses travaux, publiés dans des journaux mathématiques en Roumanie et à l’étranger, ont été suivis et employés dans de nombreuses thèses. Prof. Dr. V. Crucianu a été membre de plusieurs sociétés mathématiques et relecteur pour plusieurs journaux de spécialité. Il a donné des conférences dans plusieurs universités européennes.

Biographie académique

Ce guide dans les travaux de recherche du professeur Vasile Cruceanu a été rédigé par le professeur Mihai Anastasiei en 2006 et publié dans: Vasile Cruceanu, Selected Papers, Editura PIM, 2006, 398 p. (la présentation initiale était en anglais, la traduction en français de certains termes mathématiques peut être sous-optimale).

Dans [2] on introduit la notion de direction d’enroulement sur une variété non holonomique (distribution) V_n^m dans une variété V_n dotée d’une connexion métrique. En l’utilisant on étudie les lignes de courbure sur V_m^n. En considérant en particulier les directions concurrentes (au sens de Myller) ou parallèles (au sens de Levi-Civita), on étudie les réseaux de Myller et les réseaux de Czebyshev sur la variété non holonomique V_m^2.

L’article [4] est consacré à l’étude des surfaces dans une nouvelle géométrie, celle d’un espace tridimensionnel ayant comme groupe fondamental un sous-groupe du groupe projectif dont les éléments préservent un plan ainsi qu’une droite située dans ce plan. Un tel espace est appelé parabolique axial-affine. En quatre dimensions, ces espaces jouent un rôle important dans la construction d’un modèle géométrique pour la mécanique newtonienne.

Dans les articles [6], [12] et [15] on étudie la géométrie des variétés dotées d’une connexion centro-affine. Ces variétés ont été présentées par le professeur Vasile Cruceanu dans sa thèse de doctorat. Premièrement, la théorie générale des variétés centro-affines est développée. Puis sont analysés minutieusement les cas où ces variétés sont dotées d’une structure métrique, symplectique ou complexe. Une théorie des hypersurfaces dans les variétés avec des connexions centro-affines normales est également développée. Et de nombreux résultats dûs à Gh. Tzitzeica, Al. Myller, O. Mayer, V. Vagner et d’autres en géométrie centro-affine classique sont étendus à ce nouveau cadre.

Dans l’article [7], on étudie les variétés non holonomiques V_n^(n-1) en géométrie centro-affine classique. On introduit, entre autres, les variétés non holonomiques de Tzitzeica et la polarité de Pantazi.

Dans l’article suivant [9] est présentée une théorie des sous-variétés dans les variétés dotées de connexions projectives métriques. Une analogie intéressante avec la théorie des sous-variétés dans les espaces riemanniens à courbure constante est découverte.

Les articles [11], [13] ont été rédigés en collaboration avec Radu Miron. Ici on étudie, sur une variété différentiable, les paires de connexions qui se conjuguent par rapport à une structure métrique, symplectique ou complexe. Cette étude a été étendue par le professeur Vasile Cruceanu aux variétés de Banach dans [21]. Ici les résultats sont donnés de manière unitaire et élégante en utilisant le fait que l’ensemble des connexions affines a une structure de module affine et que les opérateurs impliqués sont des symétries ou projections affines.

Les articles [14], [19], [24] sont consacrés à une étude intégrée des structures et connexions projectives, affines et centro-affines. Une relation de subordination entre ces structures et connexions ainsi qu’un principe de dualité apparaissent.

Une nouvelle définition d’une connexion sur un espace fibré utilisant une structure presque-produit est donnée dans [16].

Les articles [25], [31], [39], [41], [48] contiennent plusieurs des contributions importantes du professeur Vasile Cruceanu à la géométrie du fibré tangent et cotangent. On définit d’une manière nouvelle et très naturelle, diverses élévations d’objets géométriques sur base de l’espace total. De nombreuses structures sur l’espace total, induites par des structures données sur la base, sont également découvertes et leurs propriétés sont décrites.

Dans le court article [26], le point de vue de Klein sur les géométries avec groupe fondamental est étendu en utilisant la théorie des catégories et des foncteurs.

Dans [29] une très large extension de la notion d’espace affine est proposée en introduisant la notion de G—espace affine pour tout groupe G. De nombreuses notions et propriétés de la géométrie affine classique ont été reformulées dans ce cadre général.

Dans les articles [29], [30], [32] la géométrie du fibré des tenseurs de type (1, 1) est développée. On montre que ce fibré possède une richesse de propriétés intéressantes notamment en raison de sa structure de fibré d’algèbres de Lie.

Dans l’article suivant [33] on suppose qu’un fibré vectoriel doté d’une connexion linéaire se divise en une somme de Whitney de deux sous-fibrés et on établit les équations de base (de type Gauss et Weingarten) pour la paire de ces sous-fibrés. Les conditions d’intégrabilité de ces équations sont également établies.

Dans les articles [36], [38] on étudie certaines classes de courbes dans les variétés de Hilbert et Koehler, qui généralisent les hélices de l’espace euclidien. Ces courbes sont caractérisées à l’aide des séries de directions formant des torses, concurrentes ou parallèles, qui leur sont rigidement associées.

La géométrie centro-affine complexe des hypersurfaces est abordée dans [40]. On établit les équations fondamentales, les conditions d’intégrabilité et les liaisons linéaires associées. Un théorème fondamental pour ces hypersurfaces est donné.

Dans l’article [42], certaines propriétés des dérivations et des connexions linéaires qui sont compatibles avec le crochet de Lie dans un fibré d’algèbre de Lie sont établies.

Les articles [44], [46] sont consacrés à la géométrie des fibrés vectoriels. Dans le premier, [44], on montre que l’ensemble des champs vectoriels sur l’espace total, qui sont invariants par le groupe d’homothéties à un paramètre, devient une algèbre de Lie isomorphe à l’algèbre de Lie des dérivations dans l’algèbre tensorielle de l’espace total. Dans le second, [46], on modifie, clarifie et étend les définitions des différents relèvements pour les fibrés vectoriels selon un point de vue nouveau et naturel. Différentes caractérisations géométriques des relèvements sont fournies.

Les articles [43], [47], [48] ont été élaborés en collaboration avec les géomètres espagnols P. Gadea, J. Masqué, E. Reyes, F. Etayo et P. Fortuny, dans le cadre d’un accord entre l’université « Al.I. Cuza » de Iasi, Roumanie, et le Consejo Superior de Investigaciones Cientificas d’Espagne. Ici sont étudiées les structures paracomplexes, parahermitiennes, parakahlériennes ainsi que celles de type électromagnétique sur variétés et faisceaux vectoriels. En outre, un compte-rendu large et approfondi des recherches dans ce domaine et des applications de ces structures dans la théorie des champs, aux espaces symétriques et aux espaces homogènes est fourni.

L’article [51], rédigé en collaboration avec M. Popescu et P. Popescu, contient une étude exhaustive des objets géométriques (champs tensoriels, dérivations et connexions linéaires) sur l’espace total E d’une variété fibrée \csi, qui sont projetables et N—projetables, où N est une normalisation du feuilletage vertical.

Dans les articles [52], [54], [55] on étudie quelques structures géométriques sur des variétés, appelées par l’auteur presque hyperproduit, presque biproduit complexe et presque produit bicomplexe. On prouve l’équivalence de ces structures avec les autres structures importantes, et on détermine les métriques et liaisons linéaires qui leur sont compatibles. Leur compatibilité est caractérisée et des exemples de variétés comportant de telles structures sont fournis.